Magyar fordítás, munkapéldány

A kvantumelméleti kinematika és mechanika szemléletes tartalmáról

von. W. Heisenberg

Az előttünk lévő munkában mindenekelőtt a sebesség, energia stb. (pl elektroné) definícióit határozzuk meg, amelyek a kvantummechanikában is megtartják érvényességüket és megmutatjuk, hogy a kanonikusan konjugált mennyiségek egyszerre csak egy bizonyos pontatlansággal adhatók meg. Ez a pontatlanság a tulajdonképpeni alapja a fellépő statisztikus kvantummechanikai összefüggéseknek. Ennek matematikai formulázása a Dirac-Jordan elmélet segítségével sikerül. Az így nyert irányelvekből kiindulva mutatjuk meg, hogy a makroszkopikus események a kvantummechanikából hogyan érthetőek meg. A teória jobb megismeréséhez egy különleges gondolatkísérletet beszélünk meg.

Egy fizikai elméletet akkor értettünk meg, ha minden egyszerűbb esetben az elmélet tapasztalati következményeire qualitatíve gondolunk, és ugyanakkor felismerjük, hogy az elmélet alkalmazása többé nem tartalmaz belső ellentmondásokat. Például (higgyük, hogy) a háromdimenziójú zárt tér einsteini elképzelését értjük, mivel számunkra ennek a felfogásnak a következményei ellentmondásmentesnek gondolható. Természetesen ezek a következmények ellentmondanak az általunk megszokott tér-időfogalommal. Azonban meggyőzhetjük magunkat arról, hogy ennek a tér-időelmélet alkalmazásának lehetőségét nagy kiterjedésű terekre sem gondolatmeneti sem tapasztalati úton nem tudjuk kikövetkeztetni. A kvantummechanika szemléletes magyarázata ez idáig tele van ellentmondásokkal, ami kihat a diszkontinuum és kontinuum illetve a részecske és hullám jelentésének kérdésére. Már arra következtetne az ember, hogy a kvantummechanika a megszokott kinematikai és mechanika felfogással valószínűleg nem magyarázható. A kvantummechanika pedig éppen abból a próbálkozásból keletkezett, hogy a megszokott mechanikai elképzelést megtörje?, és helyébe konkrét kísérleti úton kapott számok közti összefüggéseket állítson. Itt ez úgy tűnik sikerül? Másrészt a kvantummechanika matematikai leírása nem szorul felülvizsgálatra. Éppoly kevéssé szükséges felülbírálata, mint a tér-időelméleté kis terekre, mivel elegendő nagy tömeget választva a kvantummechanikai törvények a klasszikust tetszőlegesen megközelíthetik, akkor is, ha nagyon kicsi térről és időről van szó. De a kinematikai és mechanikai fogalmak átértékelése szükséges, ami a kvantummechanikai alapegyenletekből következik. Ha adott egy m tömeg, annak a megszokott felfogásunkban egy egyszerű érthető jelentése van, a tömegpont helyét és sebességét illetően. A kvantummechanikában azonban van egy összefüggés (0) a tömeg, hely és sebesség között. Gyanús tehát a „hely”, „sebesség” szavak fenntartás nélküli alkalmazása. Ha még hozzátesszük, hogy a kis térben és rövid időben történő eseményekben jellemző a diszkontinuitás, így közvetlen hihető, hogy a „hely” és a „sebesség” fogalma ?? hiba. FIG1 FIG2

Gondoljunk csak egy tömegpont egydimenziós mozgására, a kontinuumelmélet szerint a pályája egy görbe, amelynek érintője a sebesség. Ellenben egy diszkontinuumelméletben egy egymástól véges távolságokban elhelyezkedő pontok sorozatát kapjuk FIG2. Ebben az esetben nyilvánvalóan értelmetlen egy konkrét helyhez tartozó sebességéről beszélni, mivel a sebesség csak két ponton keresztül definiálható és következésképpen minden ponthoz két különböző sebesség tartozik.

Ez felveti a kérdést, hogy vajon nem lehetséges-e a kinematikai és mechanikai fogalmak egy pontosabb analízise, ami tisztázná a kvantummechanika szemléletes jelentésében fennálló ellentmondást, és a kvantummechanika összefüggések megértéséhez vezetne.

§ 1. A fogalmak: hely, pálya, sebesség, energia

Ahhoz, hogy egy tárgy kvantummechanika viselkedését követni tudjuk, ismernünk kell a tömegét és más mezőkkel illetve tárgyakkal való kölcsönhatóerőket. Csak ezután állítható fel a kvantummechanikai rendszer Hamilton ?funkciója. ( A következő megfontolások teljességben a nemrelativisztikus kvantummechanikára vonatkoznak, mivel a kvantumelméleti elektrodinamika törvényei hiányosak (v. hiányosan ismertek)) ??Az anyag „alakjáról” még valamilyen állítás szüksége, hogy a legpontosabban meghatározhassuk a kölcsönható erők teljességét az alak szóval.??

Amennyiben tisztában akarunk lenni, hogy mit kell „egy anyag helye” (pl.: elektroné) alatt érteni (relatíve egy vonatkoztatási rendszerhez képest), ahhoz konkrét kísérleteket kell elvégezni, amelyek segítségével „az elektron helyét” gondoljuk, hogy megállapítjuk; másképp a szónak nincs értelme. Az ilyen kísérletekből ?, amelyek elvben tetszőleges pontossággal engedélyezik a hely meghatározását, pl.: megvilágítunk egy elektront és behúzza egy mikroszkóp alá. A helymeghatározás legnagyobb pontossága lényegében a használt fény hullámhosszának használatával érhető el. Elvileg Γ-sugármikroszkóppal olyan pontosság érhető el, amilyet csak akarunk. Ennél az eljárásnál viszont előjön egy lényeges mellékkörülmény: a Compton-effektus. Minden megfigyelés, mely az elektrontól jövő szórtfényen alapszik, egy fényelektromos hatást feltételez (a szemben, a filmen, a fotocellában), ami felfogható úgy is, hogy egy fénykvantum találkozik az elektronnal, erről visszaverődik, vagy elhajlik és a mikroszkóp lencséjén keresztül mégegyszer eltérítődve váltja ki a fotoeffektus. A helymeghatározás pillanatában, tehát amikor az elektrontól fénykvantum eltérítődik, megváltoztatja az elektron impulzusát. Ez a változás annál nagyobb minél kisebb a használt fény hullámhossz, azaz annál pontosabb a helymeghatározás. Abban a pillanatban, hogy az elektron helyzete ismert, az impulzusa csak a változtatásnak megfelelő nagyságban ismert. Tehát minél pontosabb a helyzet, annál pontatlanabb és eltérített az impulzus. Itt vesszük észre a (0) összefüggés egyik jelentését. Legyen q₁ a pontosság, amivel a q értéke ismert, a fény hullámhossza, p₁ a pontosság, amivel a p értéke meghatározható, itt a p megváltozása a Compton-effektus következtében, így a Compton-effektus formulája szerint a p₁ és pppppp1111 q₁ (1) összefüggésben áll.

Az, hogy ez a (1) összefüggés matematikailag kötve van a (0) ?felcserélhetőségi relációval?, azt késöbb mutatjuk meg. Itt figyelmeztetünk arra, hogy az (1)-es egyenlet a tények pontos kifejezése, amit korábban a cellákban a fázistér osztályozásán keresztül a h nagyságának leírásához kerestek.

Az elektron helyének meghatározásához más kísérletet is vehetünk, pl.: ?lökéskísérlet. Egy pontos mérés rendkívül gyors részecskéket követel, ami a lassú elektronoknál az elhajlásjelenségek, ami Einstein szerint a de Broglie hullámok következményei a pontos helymeghatározást megakadályozzák. Egy pontos helymeghatározásnál az impulzus megint csak megváltozik és egy becsléssel a pontosság a de Broglie hullámra vonatkozó formulával újra az (1)-es összefüggést adja.

Ezután az eszmefuttatás után az „elektron helyének” fogalma kellően értelmezett és már csak egy szót kell az elektron „nagyságáról” hozzátenni. Ha két gyors részecske rövid időintervallumban Δt egymásután az elektronnak ütköznek, a két részecskén keresztül definiált elektron helyzetei nagyon közel Δl távolságra lesznek egymáshoz. Az alfasugárzásnál megfigyelt törvényszerűségekből következtetünk, hogy a Δl 10^-12 cm nagyságrendig lenyomozható?, amikor a Δt elegendően kicsi és a részecskék elegendően gyorsak. Ez az jelentése, annak amikor az elektron, mint részecskének a sugaráról beszélünk, hogy nem nagyobb, mint 10^-12 cm.

Vegyük az „elektron pályáját”. A pálya alatt egy térpont sorozatot értünk (egy vonatkoztatási rendszerben), amelyek az elektron „helyét” egymásután átveszik. Mivel tudjuk, hogy mit kell érteni egy bizonyos időhöz tartozó „hely” alatt, nem lép fel semmi probléma. Mégis könnyű belátni, hogy pl.: a gyakran használt kifejezésnek: az „ elektron 1-S pályája a hidrogénatomban” a mi szempontunkból nincs értelme. Ennek az „1-S pályának” a megméréséhez ugyanis az atomot meg kell világítani, aminek a hullámhossza lényegesen kisebb, mint 10^-8 cm. Ebből a fényből elegendő egyetlen egy fénykvantum, hogy az elektront teljesen kiebrudalja pályájáról (ami miatt ebből a pályából mindig csak egyetlen pont határozható meg), a pálya szónak itt nincs értelmes jelentése. Ez a legújabb elméletek ismerete nélkül is a kísérleti lehetőségekből kikövetkeztethető.

?Ehhez a kigondolt sok 1-S állapotban lévő atomon végrehajtott helyzet-meghatározás vezet. Egy bizonyos állapothoz hozzátartozik egy valószínűségi funkció az elektron helyét illetően, amik megfelelnek a klasszikus pálya középértékének és a mérések során tetszőlegesen pontosan megállapítható. Born óta ez a funkció a ψ_1S(q)ψ_1S(q) -n keresztül van megadva, ahol ψ_1S(q) az 1 S-hez tartozó Schrödinger hullámfüggvényt jelenti. Dirac-kal és Jordan-nel szeretném a későbbi általánosítást figyelembe véve mondani: A valószínűség a S(1 S,q)S(1 S,q)-n keresztül adott, ahol S(1 S,q) azon oszlopa a transzformációmátrixa ahol S(E,q) ? E=E_1S tartozik.

Ebben, hogy a kvantumelméletben egy bizonyos állapothoz csak az elektron helyének egy valószínűségi függvénye adható meg, szeretnénk Bornnal és Jordannel egy karakterisztikus statisztikus vonását látni a kvantumelméletnek ellentétben a klasszikus elmélettel. Azonban Dirac-kal együtt mondhatjuk, hogy a statisztika a kísérleteteken keresztül lett behozva. ?Akkor nyilvánvaló volna a klasszikus elméletben is csak egy elektronhely valószínűsége adhtató meg, amíg nem ismerjük az atom fázisát. A különbség a klasszikus és kvantumelmélet között többnyire ebben áll: klasszikusan a fázist határozottnak gondolhatjuk a megelőző kísérletek által. A valóságban ez lehetetlen, mivel minden a fázis meghatározására irányuló kísérlet megváltoztatja az atomot. Egy határozott stacionárius atomi „állapotban” a fázis elvileg teljesen ismeretlen, amit mint közvetlen magyarázatként foghatunk fel az ismert egyenletre (3)

Egy tárgy „sebessége” méréseken keresztül könnyen meghatározható, ha erőmentes mozgásokkal foglalkozunk. Pl.: piros fénnyel megvilágítva az anyagot a szórt fény Doppler-effektusán keresztül meghatározható a részecske sebessége. A sebesség meghatározása annál pontosabb, minél hosszabb hullámhosszú fényt használunk, mivel a részecske sebességének változása fénykvantumonként a Compton-effektus miatt így lesz kisebb. A helymeghatározás ennek megfelelően pontatlanabb, az (1)-es egyenlet szerint. ?Amikor az elektron sebessége az atomban egy bizonyos pillanatban megmérjük, a maradék elektronoktól származó erőt és magtöltést hirtelen figyelmen kívül hagyjuk, hogy a mozgás erőmentesen mennyen végbe és ezután a fenn megadott mérés valósul meg. Megint megyőzhetjük magunkat, hogy nem definiálható egy függvény p(t) egy adott atomi állapothoz. Ezzel szemben ez egy újabb valószínűségifüggvényt ad p-ről ebben az állapotban, ami Dirac és Jordan után az értéke S(1 S,p)S(1 S,p).

Végül még azokra a kísérletekre kell utalni, amelyekkel az energia vagy a hatásváltozó J megmérhető; az ilyen kísérletek nagyon fontosak, mivel csak ezek segítségével tudjuk definiálni, amit a megszakított energiaváltozás és J alatt értünk. A Franck-Hertz-féle ?lökés vizsgálat lehetővé teszi, hogy az atom energiájának mérését a kvantumelméletben érvényes energiamegmaradás segítségével visszavezessük az egyenesvonalú mozgást végző elektron energiájának mérésére. Ez a mérés elvileg tetszőleges pontossággal végrehajtható, amennyiben csak az elektron pillanatnyi helyzetének méréséről lemondunk, az (3)- asnak megfelelően. A ?csillag-.kisérlet lehetővé teszi a mágneses- vagy az atom egy közbülső elektromosmomentumának mérését, tehát ?a mérés , amik csak a hatásváltozótól függnek. A fázisok elvileg meghatározatlanul maradnak. Amennyire értelmes a fényhullám frekvenciájáról beszélni egy meghatározott pillanatban, éppoly kevéssé lehet egy atom energiájáról beszélni egy pillanatban. Ennek megfelel a ?csillag-.kísérletben a körülmény, hogy az energia mérésének pontossága annál kisebb, minél kisebb az időszakasz, amiben az atom az eltérítő erő befolyása alatt áll. ?Egy felső határ az eltérítő erő számára ezen keresztül adott, hogy bizonyos eltérítő erő potenciális energiája a sugárnyalábon belül csak csalással variálható, ami lényegesen kisebb, mint a stacionárius állapotok közti energiakülönbség, amikor az állapotok energiájának mérése kéne, hogy lehető legyen. Legyen E₁ egy energiamennyiség, ami eléri ezt a feltételt, így E₁/d az eltérítő erő csúcsértéke, ahol d a sugárnyaláb szélessége (mérhető a használt nyílás vastagságán keresztül). Az atomsugár szögeltérülése ezután x, ahol .

Ez az eltérülés nagyságrendileg közel akkora kell legyen mint a ?természetes a nyílásnál létrehozott sugár kiszélesedése elhajlás során?, amivel egy mérés lehetséges. Az elhajlás általi szögeltérülés kb λ/d, ahol λ a de Broglie hullámhossz, tehát

Ez az egyenlet megfelel az (1)-es egyenletnek és megmutatja, hogy egy pontos energiamérés, csak egy megfelelő időbeli pontatlansággal érhető el.

§ 2. A Dirac-Jordan elmélet.

Az előbbi részeket szeretnénk összefoglalni és általánosítani ebben az állításban: Minden fogalmat, amit a klasszikus elméletben egy mechanikai rendszer leírásához alkalmazunk, atomi körülmények esetén a klasszikus elmélettel analóg, egzakt kell megfogalmaznunk. A kísérletek, amelyek ilyen meghatározásokat szolgálnak, magukban hordoznak csupán tapasztalat alapján egy határozatlanságot, ha ? tőlük a szimultán meghatározás kettes kanonikusan konjugált mennyiséget követeljük?. Ennek a bizonytalanságnak a foka az (1)-es összefüggés szerint adódik. Itt ajánlatos a kvantumelméletet összehasonlítani a speciális relativitáselmélettel. A relativitáselmélet szerint az „egyidejűség” nem definiálható másként, mint az olyan kísérletek által, amelyekben a fény ?kiterjedéssebessége lényegesen összehúzódik. Ha lenne egy „körülhatároltabb” definíciója is az egyidejűségnek, pl.: jelek, amelyek végtelen gyorsan terjednek, úgy a relativitáselmélet lehetetlen lenne. Mivel ilyen jelek nincsenek, mivel már az egyidejűség definíciójában előjön a fénysebesség, a konstans fénysebesség Posztulátuma számára? Teremtett tér, ezért nincs ez a posztulátum ellentmondásban a „hely, sebesség, idő” szavak értelemszerű használatával. Hasonlóan vannak a kvantumelméletben az „elektronhelyzet, sebesség” fogalmak definíciói. Minden kísérlet, amelyeket ezen szavak definícióihoz alkalmazni tudunk, tartalmazzák az (1)-es egyenlet szerinti pontatlanságot, amennyiben ezek az egyetlen p, q fogalom definícióját ?lehetővé teszik. Ha lenne kísérlet, amelyek a p, q egyidejű „pontosabb” meghatározását lehetővé tennék, mint ami az (1)-es egyenletnek megfelel, úgy a kvantummechanika lehetetlen lenne. Ez a pontatlanság, ami az (1)-es egyenletben meghatározott, először teret létesít az összefüggések érvényességének, amelyek a kvantummechanikai felcserélődési? relációban tömör kifejezésre találnak; ezek lehetővé teszik ezt az egyenletet, anélkül, hogy a fizikai értelme a p és q mennyiségeknek megváltozna.

Azon fizikai jelenségek számára, amelyek kvantumelméleti formularizálása még ismeretlen (pl.: elektrodinamika) az (1)-es egyenlet egy követelményt jelent, ami az új törvény megtalálásához hasznos lehet?. A kvantummechanika (1)-es egyenlete egy csekély kis általánosítás segítségével a a Dirac-Jordan formulából levezethető. …..

A (3)-as feltételezés a

A csupán matematikai kvantummechanika Dirac-Jordan formulája számára jellemző, hogy a p,q,E stb. közötti összefüggések nagyon általános mátrixok közti egyenletekként írható le, oly módon, hogy egy ?vorgegeben? kvantummechanikai mennyiség diagonálmátrixként tűnik fel. Egy ilyen írásmód lehetősége villan fel, ha a mátrixokat szemléletesen többdimenziós tenzoroknak vesszük (pl.: tehetetlenségi nyomaték), amelyek közt matematikai összefüggések állnak. A koordinátarendszerben, amelyben a matematikai összefüggéseket írjuk le, a tengelyeket a tenzor főtengelyeinek megfelelően vehetjük fel. Végül a matematikai összefüggést két tenzor közt jellemezhetjük a transzformációs formula segítségével, amely az egyik főtengelyei által meghatározott koordinátarendszerből átvisz a másikéba. Az utolsó formula a Schrödinger elméletnek felel meg. Az eredeti invariánsként a q-szám Dirac-féle írásmódját tekinthetjük, a kvantummechanika koordinátarendszertől független formularizálása?. Ha minden matematikai sémából fizikai eredményt akarunk levezetni, úgy a kvantumelméleti mennyiségeket, tehát a Mátrixok számait kell hozzárendelni?. Ez úgy értendő, hogy azon többdimenziós térben egy bizonyos irányt határoz meg és kérdéses, hogy mennyi legyen az „értéke” ennek a mátrixnak a meghatározott irányban?. Ennek a kérdésnek csak azután van egyértelmű jelentése, ha ez a meghatározott irány a mátrix főtengelyeivel egybeesik; ebben az esetben egyértelmű válasz van a feltett kérdésre. Akkor is ha a meghatározott irány csak egy kicsivel is eltér a főtengelyektől, egy bizonyos relatív eltérés által megadott pontatlansággal, egy bizonyos valószínű hibával lehet a mátrix meghatározott iránybeli értékéről beszélni. Lehet mondani: Minden kvantumelméleti mennyiség vagy mátrix hozzárendel egy valószínű hibát az értékéhez?. A valószínűségi hiba a koordinátarendszertől függ; minden kvantumelméleti mennyiséghez tartozik egy koordinátarendszer, amelyben a valószínű hiba eltűnik. Egy meghatározott kísérlet azonban soha nem adhat minden kvantumelméleti mennyiségről pontos információt, inkább felosztja egy a kísérletre jellemző módszerben a fizikai mennyiségeket „ismertekre” és kevésbé ismertekre”. Két kísérlet eredménye csak akkor vezethető le egymásból, ha mindkét kísérlet a fizikai mennyiségeket ugyanúgy osztja fel ismeretre és kevésbé ismertre. Amennyiben két kísérlet különbözőféleképpen osztja be a mennyiségeket, az eredmények közti összefüggés csak statisztikusan adható meg,

Ehhez a statisztikus összefüggés pontosabb magyarázatához vegyünk egy gondolatkísérletet. Egy Stern-Gerlach atomsugárt egy F₁ mezőn küldünk át, ami olyan erősen inhomogén a sugár irányában, hogy észlelhetően sok átmenetet okoz a keverőhatás miatt. Ezután az atomsugár egy ideig szabadon halad, majd egy F₂ mezőn megy keresztül, ami hasonlóan inhomogén. A két mező köt és a után legyen lehetséges, hogy az atomok számát a különböző stacionárius állapotokban esetlegesen odahelyezett mágneses mezővel mérjük. Az atomok sugárzásiereje? Legyen nulla. Ha tudjuk, hogy egy atom energiája egy állapotban E_n volt mielőtt F₁-en haladt keresztül, akkor ezt a kísérleti tényt kifejezésre juttathatjuk, úgy hogy az atomhoz egy hullámfüggvényt a meghatározott energiával és meghatározott fázissal hozzárendeljük…..

Ebben a vonatkozásban legyen β_m valahogy önkényesen megadva, úgy hogy a c_{n m} .ek az F₁ által egyértelműen meghatározottak. A c_{n m} mátrix transzformálja az F₁-en keresztüli átmenet előtti energiaértéket az átmenet utáni értékké. Az F₁ után mérjük meg a stacionárius állapotot, pl.:egy inhomogén mágnesmezővel, és így egy valószínüséggel c_{n m} c_{n m}, azt találjuk, hogy az atom az n állapotból a m-be jutott. Ha kísérletileg megállapítjuk, hogy az atom éppen valóban az m állapotba ment át, űgy a következőkben neki a számolásokhoz minden következőben nem a Σ c_{n m} S_m függvényt rendeljük, hanem éppen az S_m függvényt meghatározatlan fázissal; a kísérleti megállapításon keresztül: az „m állapotot” választjuk a sok lehetőség közül c_{n m}, megsemmisül azonban, ahogy később világos lesz, minden, amit a fázisösszefüggéseknél a c_{n m} mennyiség tartalmazott. Az F₂-őn való átmenetelnél ismétlődik ugyanez. Legyen d_{n m} a transzformációs mátrix együtthatója, ami az energiát áttranszformálja. Ha nem történik a két mező közt mérés, akkor a következő sajátfüggvényt írhatjuk:…

Σ c_{n m} d_{n m}= e_{n m} . Ezek után az l állapothoz a e_{n m}e_{n m} valószínűséget kapjuk. Többszöri ismétlés után a F2 után az l állapotban a Znl gyakoriságot figyelhetjük meg. Ez azonban nem egyezik meg a e_{n m} e_{n m}-vel. Jordan szerint itt egy „valószínűségi interferenciáról” van szó. Ehhez azonban én nem szeretnék csatlakozni. Mivel mindkét kísérlet, amelyek e_{n m} e_{n m}-hez illetve Z_{n m}-hez vezetnek, az fizikailag valójában különböző. Az egyik esetben az atomot semmi sem zavarta F1 és F2 között, míg a másikban az állapotot mérő műszer megzavarta. Ennek a műszernek az a következménye, hogy az atom fázisát elvileg irányíthatatlanul megváltoztatja, éppúgy , mint ahogy az elektron helyzetének mérésénél az impulzust megváltoztatja. A mágneses mező az F1 F2 között az állapot méréséhez elhangolja az E sajátértéket, az atomsugár pályájának megfigyelésénél az atomok statisztikailag? különbözni fognak és irányíthatatlanul lelassulnak. Ennek következtében a végérvényes transzformációs mátrix nem a Σc_{n m} d_{n m}-vel adható meg, hanem minden tagnak van még egy ismeretlen fázisfaktora. Tehát csak azt várhatjuk, hogy a e_{n m} e_{n m} középértéke egyezik meg a Z_{n m}-mel. Egy egyszerű számolás adja, hogy ez a eset áll fenn. Bizonyos statisztikus törvényszerűségek révén dönthetjük el egy kísérletről ?. A másik kísérlet választ magának a sok lehetőség közül és ezáltal korlátozza a további kísérletek lehetőségét. Az egyenlet ilyen magyarázata az S transzformációs mátrixra vagy a Schrödinger-féle hullámegyenletre csak azért lehetséges, mert a megoldások összege egy újabb megoldás. Itt vehetjük észre a Schrödinger egyenletek linearitását. Ezáltal csak mint a fázistérben a hullámokra adott egyenletként érthető és ezáltal szeretnénk mi minden próbálkozásnál, ezeket az egyenletek pl.: relativisztikus esetben (több elektronnál) nemlineárissal helyettesíteni, kilátástalannak tart?

§ 3. Az átmenet a mikro- és makromechanika közt.

Az fentiekben végigvezetett analízis az „elektronhelyzet”, „sebesség”, „energia” stb szavakat illetően a a kvantumelméleti kinematikai és mechanikai fogalmak elég érthetőnek tűnnek, úgy hogy egy szemléletes magyarázat adható kell legyen a makroszkopikus eseményekről a kvantummechanika álláspontjából. Schrödinger már foglalkozott a mikro- és makromechanika közti átmenettel, de nem hiszem, hogy Schrödinger megfontolásai érintenék a lényeget, éspedig a következő alapon: Schrödinger szerint magas gerjesztettállapottban a kényszerrezgések összege egy nem túl nagy hullámcsomagot kell, hogy adjon, ami a maga részéről a nagyságának periodikus változása alatt a „klasszikus” elektron periodikus mozgását hajtja végre. Itt a következő kifogásolható: Ha a hullámcsomagnak ilyen tulajdonsága lenne, úgy az atomból kijövő sugár Fouriersorba fejthető volna, amelynél a ?rezgések frekvenciája egy alapfrekvencia egészszámú többszörösei lennének. Az atomból kijövő sugarak frekvenciája a kvantummechanika szerint sohasem egésszámú többszörösei egy alapfrekvenciának (kivéve a harmonikus oszcillátor speciális esetét). Schrödinger magyarázata csak az általa kezelt harmonikus oszcillátoron keresztül vihető végig, minden más esetben az idő múlásával szétterül a hullámcsomag az atom környezetének terében. Minél nagyobb a gerjesztettségi állapot, annál lassabban terül szét a hullámcsomag. Ha elég sokáig várunk, bekövetkezik. A fenti érv az atom által kibocsátott sugárról minden olyan próbálkozás ellen alkalmazható, amely egy közvetlen átmenetet a kvantummechanikából a klasszikusba magas kvantumszámokra? Törekszik. Korábban ezért megpróbálták a stacionárius állapothoz tartozó sugárszélességre utaló érvekkel kikerülni. Igazságtalanul, mivel egyrészt ez a kiút már a hidrogénatomnál az intenzívebb állapotokhoz tartozó gyenge sugár elzáródik, másrészt az átmenet a kvantummechanikából a klasszikusba az elektrodinamika nélkül is érthető kell legyen. Az ilyen nehézségekre, amelyek a kvantumelmélet és a klasszikus közti összefüggés útjában állnak, Bohr többször rámutatott. Ezt csak azért világitottuk meg ilyen részletességgel, mivel úgy tűnik mostanában kezd feledésbe merülni.

Azt hiszem, hogy a klasszikus „pálya” létrejöttét tömören így fogalmazhatnók meg: A pálya azűltal keletkezett, hogy megfigyeltük: Legyen pl.: egy atom az 1000-ik gerjesztettségi állapotban. A pályadimenziók itt relatíve nagyok már, úgy hogy a § 1. értelmében elég aránylag nagy hullámhosszú fény elé tenni az elektron helyzetének meghatározásához. Amennyiben a hely mérése nem túlzottan pontatlan, úgy a Comptonvisszaverődés miatt az atom a lökés után kb a 950 1050 közötti állapotban található. Egyidejűleg a az elektron impulzusa az (1)-ből meghatározható pontossággal a Doppler-effektusból megállapítható. Az így kapott kísérleti tényt jellemezhetjük egy hullámcsomagon keresztül egy a használt fény hullámhosszán keresztül megadott mennyiség q-terében, összetéve lényegében a ? 950-ik és 1050-ik közötti ?sajátfügvényekből, és egy megfelelő p-térbeli csomaggal. Egy kis idővel később egy újabb helymeghatározást végzünk ugyanekkora pontossággal végrehajtva. Ennek az eredménye a § 2. szerint csak statisztikusan adódik, valószínű helyek jönnek tekintetbe mind a kiszélesedett hullámcsomagokon belül kiszámítható valószínűségekkel. Ez a klasszikus elméletben semmiképpen sem lenne másképp, mivel a klasszikus elméletben a második helymeghatározás eredménye csak statisztikailag lenne megadható az első helymeghatározás bizonytalansága miatt. A klasszikus elméletnek megfelelő rendszerpályák is a hullámcsomagokkal együtt kiszélesednének. Természetesen a kvantummechanikai és a klasszikus statisztikus törvények különböznek egymástól. A második helymeghatározás kiválaszt egy bizonyos q-t és leszűkíti a következő mérések lehetőségeit. A második mérés után a késöbbi eredmények oly módon kiszámíthatóak, hogy az elektronhoz egy λ hullámhosszú „kis” hullámcsomagot rendelünk. Minden helymeghatározás redukálja a hullámcsomagot újra az eredeti λ nagyságra. A p és q változók „értéke” minden próbálkozás során egy bizonyos pontossággal ismert. Hogy a p és q értéke ezeken a pontossági határokon belül a klasszikus mozgásegyenleteknek eleget tesz, az közvetlenül kizárható a kvantummechanika törvényekből.

(9)

A pálya azonban csak statisztikusan számolható ki a kezdeti feltételekből, amit az kezdeti feltételek elvi pontatlanságának következményének tekintheti. A statisztikus törvények a kvantummechanikában és a klasszikus elméletben különböznek; ez bizonyos feltételek mellet durva makroszkopikus különbségekhez vezet a klasszikus és kvantumelmélet között. Mielőtt egy példát kezdek el tárgyalni, szeretnék egy egyszerű mechanikai rendszerre: egy tömegpont erőmentes mozgására mutatni, hogy a fent tárgyalt átmenetet a klasszikus elmélethez matematikailag hogyan fogalmazzuk meg. A mozgásegyenletek (egydimenziós mozgásnál)

(10)

Mivel az idő paraméterként kezelendő, ha nem jön elő egyetlen időtől függő erő, így néz ki az egyenlet megoldása:

(11)

A p0 és q0 értékekből úgy határozható meg q értéke a t időhöz, hogy kell egy bizonyos transzformációs függvényt találni, amely minden mátrixot, amelyeknél a q mint diagonálmátrix jelenik meg. p0 a mátrixsémában a x operátorral helyettesíthető.

(12)

(13)

SS tehát q0-tól független, azaz ha t=0 q0 pontosan ismert, így a t>0 időben a q minden értéke valószínű, azaz a valószínűség, hogy q véges területen helyezkedik el, az egyáltalán nulla?. Ez minden további nélkül világos. Mivel q0 pontos mérése végtelen nagy Comptonvisszaverődéshez vezet. Hasonló felelne meg természetesen minden tetszőleges rendszernek. Azonban ha q0 a t=0 időpillanatban csak egy bizonyos pontossággal q1 és p0 a p1 pontosságával ismert

(14)

(15)

(16)

(17)

Az elektron tehát x helyzetben található a t időpillanatban egy x pontossággal. A „hullámcsomag” vagyis a „ valószínüségicsomag” a x faktorral növekedett meg. β a (15) szerint arányos az idővel, fordítva arányos a tömeggel és q1²-tel. Egy túlzottan nagy pontosság a q0-ban nagy pontatlanság a p0-ban és ezért nagy pontatlansághoz vezet q-ban. Az η paraméter, amit fenn a formális alapokból vezettünk be, kihagyható az összes formából, mivel a számolásban nem szerepel.

Példaként ehhez, hogy a klasszikus statisztikus törvények és a kvantumelméleti közötti különbség a két elmélet eredményei közti durva makroszkopikus különbségekhez vezet, legyen egy elektron rácsról való visszaverődése röviden tárgyalva. Ha a rácsállandó az elektron de Broglie hullámhosszának nagyságrendű, akkor a visszaverődés bizonyos diszkrét irányokban történik, ahogy a fény verődik vissza egy rácsról. A klasszikus elmélet itt durva makroszkopikusan? valami mást ad. Mégis semmiképpen sem tudunk egyetlen elektron pályájánál ellentmondást megállapítani a klasszikus elméletben. Viszont tudnánk, ha az elektront a rácsvonal egy meghatározott ?állapotára tudnánk eltéríteni és ezután megállapítani, hogy ott a reflexió nemklasszikusan ment végbe. Azonban ha az elektron helyét olyan pontosan szeretnénk meghatározni, hogy megmondhassuk, hogy a rácsvonal melyik helyére? megy, akkor az elektron a helymeghatározás miatt nagy sebességre tesz szert, a de Broglie hullámhossza annyival kisebb lesz, hogy a reflexió valójában ebben a közelítésben a klasszikus elmélet szerinti irányba megy anélkül, hogy ellentmondana a kvantumelméleti törvényeknek.

§ 4. Egy különleges gondolatkísérlet magyarázata.

Az itt kipróbált kvantumelméleti magyarázat szerint az átmenetek időpillanatai, a „kvantumugrások” éppúgy konkrétan a mérések által megállapítható, ahogy az a stacionárius állapotokban. A pontosság, amennyire egy ilyen időpillanat megközelíthető, a (2)-es egyenletből x által adott, ha ΔE az energiaváltozás. Gondoljunk a következő kísérletre: egy atom a t=0 időpillanatban a 2-es állapotban van, sugárzás után átmehetne az 1-es normálállapotba. Az atomhoz a (7)-es egyenlettel analóg a

(18)

sajátfüggvényt rendelhetjük, ha feltételezzük, hogy a csillapítást az e^-άt formában tartalmazza a sajátfüggvény. Az atom energiájának méréséhez egy inhomogén mágneses mezőbe küldjük, ahogy ez a Stern-Gerlachkeresés?-nél megszokott, de a mezőnek egy hosszabb szakaszon kell követnie a sugarat. A mindenkori gyorsulást azáltal mérhetjük, hogy az egész útszakaszt, ahol az atomsugár a mágneses mezőt metszette, kis részekre osztjuk fel, amelyek végeinél az eltérítést meghatározzuk. Az atomsugár sebességétől függően a részekre való felosztás megfelel az atomnál való kis időintervallumokra való felosztásnak. Az § 1., (2)-es egyenlet szerint a Δt intervallumnak az energiában a x pontosság felel meg. Egy bizonyos energiához tartozó valószínűséget közvetlenül kiszámíthatjuk a

Ha az (n+1)Δt időpillanatban megállapítjuk: az atom a „2-es állapotban van” többé nem a (18) sajátfüggvényt rendeljük hozzá, hanem egy a (18)-ból származót, amikor t-t a t-(n+1)Δt-vel helyettesítjük. Ezért megállapítjuk: ? „1-es állapot”, így az atomhoz onnantól a

Sajátfüggvényt rendeljük. Ezután figyeljük meg az intervallumok sorát: „2.es állapot”, aztán tartósan „1-es állapot”. Ezzel a két állapot közt egy megkülönböztetés tehető, Δt nem ?nyomható x alá. Ezzel a pontossággal az átmenet időpillanata meghatározható. Az ehhez hasonló kísérlettel mutatjuk meg az értelmét annak a felfogásnak, amikor az energia nemfolytonos változásáról beszélünk. Mivel egy ilyen kísérlet elvileg végigvihető, kell, hogy legyen a kimenetelében való egyetértés.

Bohr kvantumelméleti alapposztulátumában az atom energiájának éppúgy előnye, ahogy a hatásváltozónak a többi mérhető mennyiséggel szemben, hogy mindig mérhető. Az energia a többi kvantumelméleti mennyiséghez viszonyított előnyét annak a körülménynek köszönheti, hogy zárt rendszer esetén a mozgásegyenletek integrálja mindig előáll. Nem zárt rendszerek esetén viszont semmivel sem előnyösebb, Kiváltképp olyan kísérletek adhatóak meg amelyeknél az atom w fázisa egzakttúl mérhető, amelynél elvileg az energia ismeretlen marad megfelelően a x relációknak. Egy ilyen kísérlet pl.: a rezonánsfluoreszcencia. Egy atomot a sajátfrekvenciájának megfelelően besugárzunk, azt mondjuk ν=x, így rezeg az atom fázisban a külső sugárzással, amelynél elvileg értelmetlen megkérdezni, melyik E1 vagy E2 állapotban rezeg így az atom. Az atom és a külső sugárzás közti fázisösszefüggés megállapítható pl.: több atom közti fázisösszefüggésből (Woods kísérlet). A sugárzással való kísérlettől inkább tekintsük el, úgy is megkaphatjuk a fázisösszefüggést, hogy különböző időpillanatokban megmérjük az elektronok helyét a § 1. értelmében relatív a besugárzott fény fázisához. Az egyetlen atomhoz a

(19)

hullámfüggvényt rendelhetjük. Itt c2 függ az intenzitástól és β a fény ázisától. Egy q ponthoz tartozó valószínüség tehát

(20)

A periodikus tag (20)-ban az aperiodikustól kísérletileg elkülöníthető, mivel a különböző fázishoz tartozó helymeghatározások kivihetők?.

Bohr egy ismert gondolatkísérletében egy Stern-Gerlachsféle atomsugár atomjait bevilágított fénnyel egy bizonyos állapotba gerjesztjük. Egy kis útszakaszon, végighaladnak egy inhomogén mágnese mezőn, az atomból kijövő sugárzás a mágneses mező előtt és után végig mérhető. Mielőtt az atomok a mágneses mezőbe lépnének fennáll a rezonánsfluoreszcencia, azaz a diszperzóelmélettel analóg kell venni, hogy az atomok a bejövő fénnyel fázisban gömbhullámokat sugároznak. Ez az utolsó felfogás ellentétben áll, ami egy durva alkalmazása a fénykvantumelméletnek- vagy kvantumelméleti alaptörvényekkel?: ezután megállapíthatnánk, hogy az atomok kis része került magasabb állapotba a besugárzott fénykvantumok által, az egész rezonanciasugárzás tehát néhány gerjesztett centrumból jön. Korábban kézenfekvőnek tűnt: a fénykvantumelmélet itt csak az impulzusmérlegre vonatkozik, „valójában” minden alsóbb állapotban lévő atom gyenge és koherens gömbhullámokat sugároz ki. Miután az atomsugár áthaladt a mágneses mezőn, kétségtelen, hogy az atomsugár két részre bomlott, az egyikben az alsóbb, a másikban a felsőbb állapotoknak megfelelők. Ha az atomok az alsóbb szintekről sugároznak, akkor az energiatétel sérülése forog fenn, mivel az gerjesztésienergia a felsőbb szintek atomsugarában rejlik. Még kevesebb kétség lehet afelől, hogy a mágneses mező mögött a kevésbé intenzív sugárzású felsőbb szinteken lévő atomok ?. Ahogy Bohr rámutatott, ez a gondolatkísérlet jelentős, hogy mennyire kell vigyázni a fogalmak alkalmazásával. Az itt kifejtett kvantumelméleti elképzelésből a Bohr féle kísérlet magyarázata levezethető. A külső sugárzási tartományokban a fázisok határozottak, tehát nincs értelme az atom energiájáról beszélni és azt sem mondhatjuk, hogy az atom egy bizonyos stacionárius állapotban van, hacsak nem a koherencia tulajdonságokat nézzük. Felállíthatunk kísérleteket annak bizonyítására, hogy az atom milyen állapotban van; az eredmény csak statisztikailag adható meg. Egy ilyen kísérletet fogunk inhomogén mágneses mezővel levezetni. A mágneses mező mögött az atom energiája ismert. A sugárzás inkoherens és csak a felsőbb szinteken lévő atomokból ered. A mágneses mező meghatározza az energiát, de a fázisösszefüggést érvényteleníti. A Bohr-féle gondolatkísérlet egy megvilágítsa a tényeknek, hogy az atom energiája nem egy szám, hanem egy mátrix. A megmaradási tétel az energiamátrixra érvényes és ezért az energia értékére is?. Számolással a fázisösszefüggés eltörlődése így következik: Legyen Q az atomtömegpontok koordinátái,

(21)

rendelhető hozzá, ahol S(Q,t) egy függvény, ami a pont Q-terében csak egy kis környezetben nem nulla és az atom sebességének irányában terjed. A q relatív amplitúdó valószínűsége valamely Q értéke

x

A (21) sajátfunkció a mágneses mezőben kiszámolhatóan változik meg és az alsó és felső szinteken elhelyezkedő atomok általi különböző eltérítések következtében átalakul

(22)

Az S1(Q,t) és az S2(Q,t) Q-térbeli függvények, amik a pont csak egy kis környezetében nem nullák, de ez a pont S1 számára más, mint S2 számára. S1S2 tehát mindenütt nulla. A q-hoz tartozó amplitúdó valószínűsége tehát

(23)

A periodikus tag a (20)-ból eltűnt és ezzel a lehetőség is, hogy fázisösszefüggést mérjünk. A statisztikus helymeghatározás eredménye mindig ugyanaz lesz, jelentéktelen, hogy a fény milyen fázisban érte. ?Elfogadhatjuk, hogy a sugárzással végzett kísérlet, amelynek elméletét még nem vezettük le, ugyanezt az eredményt fogja adni.

Végezetül nézzük meg a (2)-es egyenletet egy problémakomplexussal, ?. Ehrenfest és Tollman „gyenge kvantáltságról” beszélnek, amikor egy kvantált periodikus mozgás kvantumugrás vagy más zavar által megszakad bizonyos időintervallumonként, ami nem tekinthető hosszú kapcsolatban a rendszer periodicitásával?. Ezekben az esetekben nem csak az egzakt kvantummértékű energiaértékeknek kell előfordulniuk, hanem a csekély kvalitatíve megadható a priori valószínűségű energiaértéknek is?, ami nem túlzottan távol a kvantummértékű értéktől eltér. A kvantummechanikában ez a viselkedés azt jelenti: mivel az energia a külső zavarok vagy a kvantumugrás miatt valóban megváltozik, úgy minden két zavar között egy mérést kell végezni, hacsak nem egyértelmű. Ezáltal § 1. értelmében a t-nek egy felső határ adható. Egy kvantált állapot E0 energiáját csak x pontossággal mérhetjük. Ennek a kérdésnek , hogy vajon az olyan rendszereknél, ahol E1 energiaérték eltér E0-tól, „valóban” a neki megfelelő kisebb statisztikai súllyal feltételezhető-e, vagy ennek kísérleti meghatározása csak a mérés pontatlanságán múlik-e, elvileg nincs értelme. Ha t₁ kisebb, mint a rendszer periódusa, akkor nincs értelme diszkrét stacionárius állapotokról vagy energiaértékekről beszélni.

Ehrenfest és Breit hasonló összefüggésben megemlítik a következő paradoxont: Egy fogaskereket ellátunk egy készülékkel, ami f fordulat után megfordítja a forgásirányt. A fogaskerék belekap egy fogaslécbe, ami két rönk közt lineárisan eltolható a rönkök egy bizonyos számú fordulat után kényszerítik a lécet és ezzel a kereket is, hogy megforduljon. A rendszer igazi periódusa már régóta összhangban van a kerék körforgásával; az energiaszintek megfelelő szorosan helyezkednek el és annál szorosabban minél nagyobb a T. A következetes kvantumelmélet szempontjából minden állapothoz ugyanaz a statisztikus súlya van, elegendő nagy T-re minden energiaérték azonos gyakorisággal jön elő –ezzel ellentétben